Munkavállalóval szembeni igény

Tisztelt Szakértő! Többször találkozni mostanában ilyen esettel. Jelen kérdésemben a tényállás a következő. A munkavállaló szóban azonnali hatállyal felmondott, mivel talált egy saját maga számára kedvezőbb munkahelyet, és nem volt hajlandó egy nappal sem tovább dolgozni. A munkáltató nem kívánt perelni, hanem küldött egy fizetési felszólítást (tértivevénnyel), melyben leírta a tényállást, és azt, hogy ha nem ért egyet a munkavállaló az abban foglaltakkal, akkor milyen jogorvoslattal élhet. A munkavállaló átvette a levelet, de nem reagált, de a munkáltató sem lépett egy éven keresztül. Ilyenkor a hároméves elévülési idő az irányadó, vagy annál rövidebb? Úgy tudom (nem tudom, jól-e), hogy ha a munkavállaló nem adja át a munkakörét, arra a jogellenes felmondás szabályai irányadók. Ugyanakkor az azonnali hatályú felmondás maga is jogellenes volt. Tehát abban kérem a segítségét, hogy: egyrészt ilyenkor mi alapján dől el a határidő (akár per, akár végrehajtási záradék kibocsátása iránti kérelem benyújtása – az összeg limiten belüli), másrészt, hogy ennyi idő után lehet a munkáltató székhelye szerinti munkaügyi bíróságtól igazolást kérni arra nézve, hogy indítottak-e pert ellene? Hiszen azt az igazolást nyújtaná be a munkáltató a munkavállaló lakóhelye szerint illetékes polgári bírósághoz (ha ez a menete). Tehát lehet-e még bármit tenni? Ilyen esetben lehetséges-e FMH iránti kérelemmel élni? Segítségét köszönöm. Tisztelettel.